# استفاده از الگوریتم MSAA در حل دستگاه معادلات مربوط به بازیابی میدان جاذبه زمین در مقیاس جهانی تا درجه و مرتبه 120 با استفاده از مشاهدات ماهواره GRACE

نویسندگان

1 استادیار، گروه مهندسی نقشه‌برداری، پردیس دانشکده‌های فنی، دانشگاه تهران، ایران

2 دانشجوی کارشناسی ارشد ژئودزی، گروه مهندسی نقشه‌برداری، پردیس دانشکده‌های فنی، دانشگاه تهران، ایران

چکیده

ساختار LL-SST (Low-Low Satellite-to-Satellite Tracking) اولین‌‌بار با پرتاب ماهواره GRACE (Gravity Recovery And Climate Experiment) در 2002 اجرایی شد. برای رسیدن به دقت و حساسیت بیشتر در بازیابی میدان جاذبه زمین در مقیاس جهانی می‌توان ساختار LL-SST را با ساختار HL-SST (High-Low Satellite-to-Satellite Tracking)که قبلاً در ماهواره CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload) استفاده شده ترکیب کرد. اختلاف شتاب در راستای خط دید دو ماهواره (Line Of Sight(LOS) acceleration difference) GRACE، ساده‌ترین کمیت مشاهداتی است که در آن از مشاهدات هر دو ساختارHL و LL استفاده شده است. در این مقاله در ابتدا روابط مربوط به بازیابی ضرایب ژئوپتانسیلی با استفاده از تابعک مشاهداتی شتاب در راستای خط دید دو ماهواره GRACE بیان شده است و دستگاه معادلات مربوطه برای برآورد ضرایب بنا شده است. بیشینه درجه و مرتبه قابل بازیابی با استفاده از مشاهدات ماهواره GRACE، 120 است. به بیان دیگر تعداد مجهولاتی که باید در این دستگاه برآورد شوند 14641 مجهول است. ازآنجاکه حل دستگاه معادلاتی با این تعداد مجهول در یک دستگاه رایانه‌ای شخصی و با نرم‌افزار مطلب (MATLAB) امکان‌پذیر نیست، در این مقاله الگوریتم تکراری MSAA (Multiplicative Schwarz Alternating Algorithm) که از جمله روش‌های تجزیه حوزه (Domain decomposition) است، برای حل دستگاه معادلات نرمال با ابعاد بزرگ عرضه شده و در حل دستگاه معادلات مربوط به بازیابی ضرایب ژئوپتانسیلی با استفاده از مشاهدات شبیه‌‌سازی شده دینامیکی ماهواره GRACE به اجرا گذاشته شده است. نتایج حاصل، حاکی از کارایی این روش از نظر دقت و سرعت همگرایی در حل دستگاه معادلات بزرگ مربوط به بازیابی ضرایب ژئوپتانسیلی است.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

### Using the Multiplicative Schwarz Alternating Algorithm(MSAA) for Solving the Large Linear System of Equations Related to Global Gravity Field Recovery up to Degree and Order 120

نویسندگان [English]

• Abdolreza Safari 1
چکیده [English]

The GRACE mission has substantiated the Low–Low Satellite-to-Satellite Tracking (LL-SST) concept. The LL-SST configuration can be combined with the previously realized high–low SST concept in the CHAMP mission to provide a much higher accuracy. The line of sight (LOS) acceleration difference between the GRACE satellite pair is the most frequently used observable for mapping the global gravity field of the Earth in terms of spherical harmonic coefficients.
The following relationship is valid for each evaluation point:
(1)
The GRACE ranging system provides inter-satellite range and its first time derivative, , as the LL-SST observations and the GPS receivers mounted on the GRACE satellites provide the position vectors as the HL-SST mode observations. The inter-satellite range acceleration, , and are obtained by numerical differentiation of and , respectively.
In the absence of non-gravitational forces, the left-hand side of Eq. (1) can be considered as the LOS gravitational acceleration differences,
(2)
A sequence of observations with evaluation points sets up a system with linear equations. In this paper, the corresponding linear system of equations has been set up for spherical harmonic up to degree and order 120. The total number of unknowns, , is
(3)
Such a linear equation system can be solved with iterative solvers or direct solvers. However, the runtime of direct methods or that of iterative solvers without a suitable preconditioner increases tremendously. This is the reason why we need a more sophisticated method to solve the linear system of problems with a large number of unknowns.
Multiplicative variant of the Schwarsz alternating algorithm is a domain decomposition method, which allows it to split the normal matrix of the system into several smaller overlaped submatrices. In each iteration step the multiplicative variant of the Schwarz alternating algorithm solves linear systems with the matrices obtained from the splitting successively. It reduces both runtime and memory requirements drastically. An MSAA example with two submatrices is shown in Fig. 1

Figure 1. MSAA example with two submatrices.
This method dates back to H. A. Achwarsz’ work, published in 1980, and has been investigated by many authors since then. In this paper we propose the Multiplicative Schwarz Alternating Algorithm (MSAA) for solving the large linear system of gravity field recovery. The proposed algorithm has been applied in a close-loop simulation to the International Association of Geodesy (IAG)-simulated data of the GRACE mission. The achieved results indicate the validity and efficiency of the proposed algorithm in solving the linear system of equations from accuracy and runtime points of view.

کلیدواژه‌ها [English]

• Gravity field recovery
• Low-Low Satellite-to-Satellite Tracking
• Multiplicative Schwarz Alternating Algorithm