# کاربست روش معادله‌گرا برای حل معادله پخش در شبکه‌های مختلف

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه مهندسی و مدیریت آب، دانشکده کشاورزی، دانشگاه تربیت مدرس، تهران، ایران.

چکیده

امروزه ساختارهای شبکه‌ای در سیستم‌های طبیعی و مهندسی بسیار یافت می‌شوند، لذا استفاده از روش‌های کارآمد برای مدل‌سازی پدیده‌هایی مانند پخش و جابه‌جایی یک کمیت اسکالر (مانند دما یا غلظت) در این شبکه‌ها نمود پیدا می‌کند. یکی از روش‌های رایج برای مدل‌سازی این پدیده‌ها، مدل‌سازی عددی است. در این پژوهش با استفاده از روش معادله‌گرا پدیده یاد شده مدل‌سازی و بررسی شده‌است. در این تحقیق، روش اصلی در استفاده از روش معادله‌گرا، فرمول‌بندی پدیده پخش در کل شبکه به‌صورت یک دستگاه معادلات دیفرانسیل جزئی می‌باشد. درنهایت با اعمال شرایط مرزی مناسب در نقاط اتصال شبکه (با توجه به فیزیک پدیده)، دستگاه یادشده از طریق روش خطوط حل شد. رویکرد مذکور برای حل معادله پخش در سه نوع شبکه مختلف شامل درختی و حلقه‌ای به کار گرفته و نتایج بررسی شد. در مورد شبکه سوم، نتایج روش معادله‌گرا با نتایج روش عددی دیگر، که در آن یک معادله در کل شبکه با استفاده از روش تفاضل متناهی گسسته می‌شود، مورد مقایسه قرار گرفت. شاخص‌های خطا برای مقایسه مذکور حاکی از آن است که روش‌ها با یکدیگر همخوانی داشته که این امر بیانگر صحت کاربست روش معادله‌گرا می‌باشد. از مزیت‌های روش معادله‌گرا می‌توان به انعطاف‌پذیری بالای آن در مقایسه با روش‌های عددی پیشین و همچنین قابلیت آسان اعمال آن در بسته‌ها و ابزارهای عددی آماده، اشاره کرد.

کلیدواژه‌ها 20.1001.1.2538371.1402.49.3.7.6

موضوعات

عنوان مقاله [English]

### Application of Equation-Oriented Modeling in solving Diffusion Equation in Different Types of Networks

نویسندگان [English]

• Mehdi Mazaheri
Department of Water Engineering and Management, Faculty of Agriculture, Tarbiat Modares University, Tehran, Iran.
چکیده [English]

کلیدواژه‌ها [English]

• Equaion-Oriented Modeling
• Diffusion Equation
• Method of Lines
• Tree-shaped network
• Loop network

#### مراجع

Addiscott, T. M., & Leeds-Harrison, P. (2005). DIFFUSION. Encyclopdeia of Soils in the Environment, 389-394. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/B0-12-348530-4/00346-5
Alharbi, A. Y., Pence, D. V., & Cullion, R. N. (2003). Fluid Flow Through Microscale Fractal-Like Branching Channel Networks. Journal of Fluids Engineering, 125(6), 1051-1057. https://doi.org/10.1115/1.1625684.
Campos, D., Mendez, V., & Fort, J. (2004). Description of diffusive and propagative behavior on fractals. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys, 69(3 Pt 1), 031115. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.69.031115
Carslaw, H. S., & Jaeger, J. C. (1959). Conduction of Heat in Solids (second edition ed.). Oxford University
Chen, Y., & Cheng, P. (2002). Heat transfer and pressure drop in fractal tree-like microchannel nets. International Journal of Heat and Mass Transfer, 45(13), 2643-2648. https://doi.org/10.1016/s0017-9310(02)00013-3.
Chung, S.-Y., Chung, Y.-S., & Kim, J.-H. (2007). Diffusion and Elastic Equations on Networks. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, 43(3), 699-725. doi:10.2977/prims/1201012039
Chung, S.-Y., & Choi, M.-J. (2017). A new condition for blow-up solutions to discrete semilinear heat equations on networks. Computers & Mathematics with Applications, 74(12), 2929-2939. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2017.07.030
Crank, J. (1975). The Mathematics of Diffusion. Oxford University Press.
Dadvar, M., & Sahimi, M. (2007). The effective diffusivities in porous media with and without nonlinear reactions. Chemical Engineering Science, 62(5), 1466-1476. https://doi.org/10.1016/j.ces.2006.12.002.
F.Miguel, A., & O.Rocha, L. A. (2018). Tree-Shaped Fluid Flow and Heat Transfer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73260-2
Fan, W., & Liu, F. (2018). A numerical method for solving the two-dimensional distributed order space-fractional diffusion equation on an irregular convex domain. Applied Mathematics Letters, 77, 114-121. https://doi.org/10.1016/j.aml.2017.10.005.
Fischer, H. B. (1979). Mixing in inland and coastal waters. Academic Press. Publisher description http://www.loc.gov/catdir/description/els031/78022524.html
Gulick, D., & Scott, J. (2011). The Beauty of Fractals. https://doi.org/10.1017/cbo9780883859711
Hickson, R. I., Barry, S. I., Mercer, G. N., & Sidhu, H. S. (2011). Finite difference schemes for multilayer diffusion. Mathematical and Computer Modelling, 54(1-2), 210-220. https://doi.org/10.1016/j.mcm.2011.02.003.
Johnson, A. R., Hatfield, C. A., & Milne, B. T. (1995). Simulated diffusion dynamics in river networks. Ecological Modelling, 83(3), 311-325. https://doi.org/10.1016/0304-3800(94)00107-9.
Liu, C., Xie, D., She, W., Liu, Z., Liu, G., Yang, L. & Zhang, Y. (2018). Numerical modelling of elastic modulus and diffusion coefficient of concrete as a three-phase composite material. Construction and Building Materials, 189, 1251-1263.
Mamo, D., & Purnachandra Rao, K. (2015). Mathematical Modeling and Simulation Study of SEIR disease and Data Fitting of Ebola Epidemic spreading in West Africa. Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology, 2, 3159-0040.
Milišić, H., Hadžić, E., & Jusić, S. (2020). 2020//. Estimation of Longitudinal Dispersion Coefficient Using Field Experimental Data and 1D Numerical Model of Solute Transport. Paper presented at the Advanced Technologies, Systems, and Applications IV-Proceedings of the International Symposium on Innovative and Interdisciplinary Applications of Advanced Technologies (IAT 2019), Cham.
Naveros, I., C.Ghiaus, Ordonez, J., & Ruiz, D. P. (2016). Thermal Networks From The Heat Equation By Using The Finite Element Method. WIT Press, 106, 33-43. https://doi.org/10.2495/HT160041.
Neira, J., Ortiz, M., Morales, L., & Acevedo, E. (2015). Oxygen diffusion in soils: understanding the factors and processes needed for modeling. Chilean journal of agricultural research, 75, 35-44.
Poli︠a︡nin, A. D., & Zaĭt︠s︡ev, V. F. (2003). Handbook of exact solutions for ordinary differential equations (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. Publisher description http://www.loc.gov/catdir/enhancements/fy0646/2002073735-d.html
Romeo, G. (2020). Mathematics for dynamic economic models. In Elements of Numerical Mathematical Economics with Excel (pp. 139-215). Academic Press. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/B978-0-12-817648-1.00004-9
Sanders, F. E., Tinker, P. B., & Nye, P. H. (1971). Uptake of solutes by multiple root systems from soil: I. An electrical analog of diffusion to root systems. Plant and Soil, 34, 453-466.
Schiesser, W. E., & Griffiths, G. W. (2009). A compendium of partial differential equation models: method of lines analysis with Matlab. Cambridge University Press. Table of contents only http://www.loc.gov/catdir/toc/fy0905/2008045816.html
Shashkov, M., & Steinberg, S. (1996). Solving Diffusion Equations with Rough Coefficients in Rough Grids. Journal of Computational Physics, 405-383, (2)129, https://doi.org/10.1006/jcph.1996.0257.
Simon,T., & Koya, P.R. (2015). Modeling and Numerical Simulation of River Pollution Using Diffusion-Reaction Equation. American Journal of Applied Mathematics, 3(6), 335-340.
Thawornchak, W. (2001). Equation-Based and Agent-Based Modeling of Supply Networks.
Vaidya, N.K., Morgan, M., Jones, T., Miller, L., Lapin, S., & Schwartz, E.J. (2015). Modelling the epidemic spread of an H1N1 influenza outbreak in a rural university town. Epidemiol Infect, 143(8), 1610-1620.
Xu, P., Sasmito, A. P., Yu, B., & Mujumdar, A. S. (2016). Transport Phenomena and Properties in Treelike Networks. Applied Mechanics Reviews, 68(4). https://doi.org/10.1115/1.4033966.
Xu, P., Wang, X. Q., Mujumdar, A. S., Yap, C., & Yu, B. M. (2009). Thermal characteristics of tree-shaped microchannel nets with/without loops. International Journal of Thermal Sciences, 48(11), 2139-2147. https://doi.org/10.1016/j.ijthermalsci.2009.03.018.
Yu, X. f., Zhang, C. p., Teng, J. t., Huang, S. y., Jin, S. p., Lian, Y. f., Cheng, C. h., Xu, T. t., Chu, J. C., Chang, Y. J., Dang, T., & Greif, R. (2012). A study on the hydraulic and thermal characteristics in fractal tree-like microchannels by numerical and experimental methods. International Journal of Heat and Mass Transfer, 55(25-26), 7499-7507. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2012.07.050.
Zheng, N., Liu, P., Wang, X., Shan, F., Liu, Z., & Liu, W. (2017). Numerical simulation and optimization of heat transfer enhancement in a heat exchanger tube fitted with vortex rod inserts. Applied Thermal Engineering, 123, 471-484. https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2017.05.112.
Zheng, Q., Xu, J., Yang, B., & Yu, B. (2013). Research on the effective gas diffusion coefficient in dry porous media embedded with a fractal-like tree network. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 392(6), 1557-1566. https://doi.org/10.1016/j.physa.2012.12.003.